Instrumentation
Marc Nicollerat
4 Régression linéaire et calibration
- Calcul de la meilleure droite
- Etalonnage
- Chaîne de calibration
4.1 Calcul de la meilleure droite
Calcul de la meilleure droite de la fonction \[ signal=f(mesurande) \]
L’étalonnage du capteur fournit à l’expérimentateur un certain nombre de points associés (xi, yi) qui, même pour un capteur théoriquement linéaire, ne sont pas forcément tous alignés du fait de l’imprécision des mesures ou des imperfections dans la réalisation du capteur.
Solution : Le Calcul De La “meilleure droite” !
4.2 Meilleure droite
On cherche une droite qui minimise l’erreur entre les mesures et les points calculés. Ceci revient à chercher \(a\) et \(b\) dans l’équation de la droite : \[ y = a\cdot x + b \]
Si on mesure N points \(x_i\), \(y_i\), on aura N erreurs de mesure \(\sigma_i=y(x_i) - y_i\).
On définit : \[ S = \sum_{i=1}^{N}{\sigma_i^2} \] qu’on veut minimiser en choisissant bien \(a\) et \(b\).
Important
Il s’agit d’une droite de régression linéaire basée sur la méthode des moindres carrés.
4.3 Calcul des coefficients de la meilleure droite
On peut calculer les coefficients de la meilleure droite avec les équations suivantes :
\[ \begin{array}a S_1=\sum_{i=1}^N{1}=N && S_x=\sum_{i=1}^N{x_i} \\ S_y=\sum_{i=1}^N{y_i} && S_{xx}=\sum_{i=1}^N{x_i^2} \\ S_{xy}=\sum_{i=1}^N{x_i \cdot y_i} \\ D=S_1 \cdot S_{xx} - S_x^2 \\ a=\frac{S_1 \cdot S_{xy} - S_x \cdot S_{y} }{D} && b=\frac{S_y \cdot S_{xx} - S_x \cdot S_{xy}}{D} \end{array} \]
ou avec python :
4.4 Résolution avec calcul matriciel
On peut résoudre le problème avec le calcul matriciel :
\[ \begin{array}a \matrix y=\matrix{ A} \cdot \matrix{ \theta} \\ A = \left[ \begin{array}a x_1 && 1 \\ ... && ... \\ x_N && 1 \end{array} \right], \theta = \left[ \begin{array}a a \\ b \end{array} \right], y = \left[\begin{array}a y_1 \\ ... \\ y_N \end{array}\right] \\ E2 =\sum_{i=1}^N\sigma_i^2 =( \matrix{ y}- \matrix{ A} \cdot \matrix{ \theta})^T \cdot (\matrix y-\matrix A \cdot \matrix{ \theta}) \\ E2 =y^T y - (A { \theta})^T y-y^T A { \theta}+(A { \theta})^T A { \theta} \\ E2 =y^T y - 2(A { \theta})^T y + (A { \theta})^T A { \theta} \\ \frac{\partial E2}{\partial \theta}=-2*A^Ty+2A^TA{ \theta} \\ \theta =(A^TA)^{-1}A^Ty \end{array} \]
4.5 Exercice
Pratique !
Soient les trois points suivants de calibration :
- \(x\) correspond à la mesurande (mesurée en ˚C).
- \(y\) correspond au signal (mesuré en volts).
| i | x | y |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 3 |
| 3 | 5 | 5 |
- Déterminer a et b de la meilleure droite passant par les points de calibration
- Quelle est la sensibilité de ce capteur
4.6 Etalonnage
L’étalonnage consiste à vérifier qu’un instrument fonctionne correctement et avec la précision convenue.
4.6.1 Comparaison à une référence
4.6.2 Comparaison avec un instrument de référence
4.7 Chaîne de calibration
Afin d’avoir tous les mêmes références, le système est organisé en pyramide.
Chaque pays y va de son institut !
4.8 Exercices
Etalonnage
- Exercices selon donnée séparée, 4.1,4.2 et 4.3
- ex_4.1-etalonnage-par-comparaison.ipynb
Instrumentation 2025-2026