Calcul de la meilleure droite de la fonction \[ signal=f(mesurande) \]
L’étalonnage du capteur fournit à l’expérimentateur un certain nombre de points associés (xi, yi) qui, même pour un capteur théoriquement linéaire, ne sont pas forcément tous alignés du fait de l’imprécision des mesures ou des imperfections dans la réalisation du capteur.
Solution : Le Calcul De La “meilleure droite” !
On cherche une droite qui minimise l’erreur entre les mesures et les points calculés. Ceci revient à chercher \(a\) et \(b\) dans l’équation de la droite : \[ y = a\cdot x + b \]
Si on mesure N points \(x_i\), \(y_i\), on aura N erreurs de mesure \(\sigma_i=y(x_i) - y_i\).
On définit : \[ S = \sum_{i=1}^{N}{\sigma_i^2} \] qu’on veut minimiser en choisissant bien \(a\) et \(b\).
Important
Il s’agit d’une droite de régression linéaire basée sur la méthode des moindres carrés.
On peut calculer les coefficients de la meilleure droite avec les équations suivantes :
\[ \begin{array}a S_1=\sum_{i=1}^N{1}=N && S_x=\sum_{i=1}^N{x_i} \\ S_y=\sum_{i=1}^N{y_i} && S_{xx}=\sum_{i=1}^N{x_i^2} \\ S_{xy}=\sum_{i=1}^N{x_i \cdot y_i} \\ D=S_1 \cdot S_{xx} - S_x^2 \\ a=\frac{S_1 \cdot S_{xy} - S_x \cdot S_{y} }{D} && b=\frac{S_y \cdot S_{xx} - S_x \cdot S_{xy}}{D} \end{array} \]
ou avec python :
On peut résoudre le problème avec le calcul matriciel :
\[ \begin{array}a \matrix y=\matrix{ A} \cdot \matrix{ \theta} \\ A = \left[ \begin{array}a x_1 && 1 \\ ... && ... \\ x_N && 1 \end{array} \right], \theta = \left[ \begin{array}a a \\ b \end{array} \right], y = \left[\begin{array}a y_1 \\ ... \\ y_N \end{array}\right] \\ E2 =\sum_{i=1}^N\sigma_i^2 =( \matrix{ y}- \matrix{ A} \cdot \matrix{ \theta})^T \cdot (\matrix y-\matrix A \cdot \matrix{ \theta}) \\ E2 =y^T y - (A { \theta})^T y-y^T A { \theta}+(A { \theta})^T A { \theta} \\ E2 =y^T y - 2(A { \theta})^T y + (A { \theta})^T A { \theta} \\ \frac{\partial E2}{\partial \theta}=-2*A^Ty+2A^TA{ \theta} \\ \theta =(A^TA)^{-1}A^Ty \end{array} \]
Pratique !
Soient les trois points suivants de calibration :
| i | x | y |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 3 |
| 3 | 5 | 5 |
L’étalonnage consiste à vérifier qu’un instrument fonctionne correctement et avec la précision convenue.
Afin d’avoir tous les mêmes références, le système est organisé en pyramide.
Chaque pays y va de son institut !
Etalonnage
Instrumentation 2025-2026